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[자연과학] 공학물리 - 진자의 운동

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작성일18-04-17 14:37

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여기서 - 부호는 복원력 토크임을 나타내고 각도 θ를 0 으로 줄이기 위해 작용한다.

② 원반진자
그림과 같이 중심 C로 부터 x 만큼 떨어진 지점 O를 고정하고 변위를 가…(생략) 할때 진동하는 원반 물리진자에 대해 생각해 보자.
원반의 중심에 대한 관성모멘트는
I c.m 〓 1/2 mR2 (R:반지름, m:원반질량)
이므로, 평행축요점에 의해
I 〓 I O 〓 I c.m + mh2 〓 1/2 mR2 + mx2

이다.즉, 이것은 길이가 (L2+12x2)/(12x) 인 단진자의 운동으로 생각할 수 있다.

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1. 실험목적 : 여러 가지 물체의 진자운동과 비틀림 진동을 관찰하고 컴퓨터 인터페이스를 통해 그 주기를 측정(測定) 하여 이론(理論)값과 비교해본다.

① 막대진자
그림과 같이 길이 L인 막대의 한쪽(O점)을 고정하고 일정한 변위를 주어 물체를 진동시킬 때 진동주기를 구해보자.
막대의 질량을 m 이라 하면 고정점 O에 대한 막대의 관성모멘트는
I 〓 ∫r2 dm 〓 ρ∫r2 dr (ρ:선밀도)


위 적분을 계산하거나 또는 평행축 요점에 의해
I 〓 I O 〓 I c.m + mh2 〓 + mx2

〓 1/12 mL2 + mx2 (7)
이므로 식(6) 으로부터 미소진동 일때 진자의 주기는
(8)
이다.
2. 이론(理論)
(1) 물리진자 (Physical Pendulum)
그림과 같이 질량중심을 C, 고정점을 O, 질량중심과 고정점 사이의 거리를 h 라 할 때 평형상태(θ〓0 일 때)에서 각도 θ만큼 변위가 가해지면 중력 mg에 의해 물체에는 복원력 토크
τ〓 -mghsinθ (1)
가 생긴다. 원판이 축을 중심으로 θm 만큼 변위가 가해지면 비틀린 철사에는 복원 회전력이 생기고 이 복원회전력은 비틀린 각변위, θ에 비례하므로

τ 〓 -κθ-(10)
이다. 여기서 κ는 철사의 특성에 관계되는 상수이며 비틀림상수라 한다. 그러므로 식(6) 으로부터 미소진동 일때 진자의 주기는
(9)
이고, 이것은 길이가 (R2+2x2)/(2x) 인 단진자의 운동으로 생각할 수 있다.t〓0 일때 초기각은 Θ0 , dΘ/dt〓0 이라 하면, A〓Θ0 , B〓0 이므로
Θ〓 Θ0cosωt -(5)
이고 ω〓2πf〓2πT-1〓(mgh/I)1/2 이므로 이 물리진자의 주기는
-(6)
이다.
τ〓 Iα(I는 관성모멘트, α는 각가속도) 이므로,
τ〓 I d2Θ/dt2 〓 -mghsinΘ -(2)

가 된다 여기서 진폭이 아주 작을때, sinΘ≒Θ이고
d2Θ/dt2 +(mgh/I)Θ〓 0 -(3)
이고 이 미분방정식의 해는
Θ〓 Acosωt + Bsinωt (ω〓(mgh/I)1/2 ) (4)
이다.
3. 실험기구 및 장치 : 컴퓨터 및 인터페이스장치, 회전센서(3단 도르래 직경 〓 10, 29, 48mm), 막대진자(2종, 길이〓50cm, 직경〓6mm), 원반진자(r〓10cm), A베이스 및 지지막대(60cm), 자(30cm), 비틀림 진자용 철사 3종(길이〓45.7cm, 두께〓0.8mm, 1.2mm, 1.6mm), 힘센서, 원반디스크(질량〓124g, 반경〓4.7cm), 철사 클램프(상,하 2종), 실, 가위
4.



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실험결과/물리




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다. 이것은 스프링에 매달린 질량의 단순조화운동과 비슷하며 직선변위 x ⇒ θ, 질량 m ⇒ I 를 힘상수 k ⇒ κ로 대치한 것과 같다. 방정식 (11)의 해는 t〓0 일때 초기각을 Θm 이라하면
Θ〓 Θmcosωt -(12)

이고, ω 〓 2πf 〓 2πT-1 이므로 이 비틀림 진자의 주기 T는
T 〓 2π(I/κ)1/2 -(13)
이다.

(2) 비틀림진자 (Torsion Pendulum)
그림과 같이 원판의 질량중심을 철사로 매달고 철사가 지지대의 끝에 단단히 고정되어 있을때 원판은 평형위치에서 정지해 있다.
이 계에 대한 운동방정식은 τ 〓 Iα 〓 Id2Θ/dt2 이므로
-κθ 〓 I d2Θ/dt2 , d2Θ/dt2 〓 -(κ/I)θ-(11)
이다.

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